ना तुमने सिग्नल देखा…

"Young man, in mathematics you don't understand a thing.

you just get used to them!"

-जॉन फॉन  नॉयमान

सुट्टी घालवायला म्हणून आमचे मित्र (विनर/ व्हिएन्निज ) चै महाराज परांजपे ह्यांच्याकडे व्हिएन्नामधे गेलो असता पहिल्या दोन तासातच चैने माझ्यासमोर सर्ज लँगचे  "लिनिअर अल्जेब्रा" चे पुस्तक टाकले नि म्हणाला,"रोह्या, तू लेख मस्त लिहिलास सदिशावकाशावरचा. मला फार आवडला. हे पुस्तक जे मला तुझ्या जातभाई सोमाण्याने (हा गणिती आहे) दिले आहे ते मी पूर्वी अभ्यासले. पण एक इंजिनिअर म्हणून मला अजूनही ही थिअरी अप्रिशीएट करता येत नाही."

थोडी चर्चा झाल्यावर असे ध्यानात आले की सर्वसामान्य फिजिक्स, रसायनशास्त्र आणि इंजिनिअरिंगचे  विद्यार्थी अप्रिशीएट करू शकतील असे व्हेक्टर स्पेसचे उदाहरण खरेच लिनिअर अल्जेब्रामध्ये समजावून सांगितले जात नाही. इतकेच काय, गणिताच्या विद्यार्थ्यांनाही गणितातील R, R२ , R३,… अशी उदाहरणे सोडली तर "नैसर्गिक" म्हणता येईल अशी उदाहरणे चटकन सांगता येत नाहीत. आणि मग जाणवले की मी सुद्धा याला अपवाद नाही! जेव्हा कधी लक्षात येते की एखादी गोष्ट आपल्याला येत नाही तेव्हा तेव्हा मला जॉन फॉन नॉयमानचे उपरोधृत विधान आठवते! खरेच, अति शिकणे म्हणजे खरेच शिकणे असते की केवळ पुस्तकी भाषेला आणि ज्ञानाच्या डोलाऱ्याला  "युज्ड टू" होणे असते?

लिनिअर अल्जेब्रा शिकणार्यांना लँग किंवा हॉफमन-कुंझ मध्ये बरीच उदाहरणे मिळतील. पण मला सुचलेले एक उदाहरण माझ्या या मित्रांसाठी मी देतोय.  हे उदाहरण "फ़ुरियर अनालिसिस" ची सुरुवात आहे.

सिग्नल, थोडी धाराविद्युत, अम्प्लिफ़ायर आणि दोन वायरींची टोके एकमेकांना जोडणे ह्या इलेक्ट्रीकल बाबी माहिती असल्या आणि  मागच्या लेखातील व्हेक्टर स्पेस म्हणजे नेमके काय, हे भापले असेल तर करा सुरुवात वाचायला…

या लेखातील गणिताचा तिखटपणा: ५ पैकी ३ मिरच्या
मागील लेख आणि धाराविद्युत यांची माहिती गरजेची

एक उजळणी म्हणून : वास्तव व्हेक्टर स्पेस म्हणजे एक संच असतो. त्यामध्ये शून्य असतो, दोन घटकांची बेरीज-वजाबाकी करता येते, कोणत्याही घटकाला वास्तव संख्येने गुणता येते आणि हा गुणाकार नि बेरीज एकमेकांचे मित्र असतात!

इलेक्ट्रोनिक सिग्नलस् चे आणि आवाजांचे सदिशावकाश:

   आता वळू थोडेसे इलेक्ट्रॉनिक्सकडे. समजा, पप्पुकडे काही विद्युत घट = बॅटऱ्या आहेत. एक सोडून उर्वरित बॅटऱ्यांत अचानक बिघाड झाला. त्याने त्या तपासल्या तर लक्षात आले की बिघडलेली प्रत्येक बॅटरी बटन दाबले की त्यावेळेस केवळ एकच मिनिट चालते. सिग्नल सलग = कंटिन्यूअस असतात. पण गम्मत अशी की कसे काय जाणे, त्यांचे सिग्नल वाट्टेल तेवढे मोठे किंवा लहान असतात. म्हणजे कधीतरी सिग्नल + १०चा १००००००० घात इतक्या व्होल्टचा असतो तर कधी - π चा १००००००० व्होल्ट! ते वाकडेतिकडे असतात. अगदी स्थिर= कॉनस्टंट किंवा पुस्तकात असतात तसे सुंदर साइन-कोसाइन सारखे सिग्नल कायमच दिसत नाहीत (पप्पूकडे हे सिग्नल पाहण्यासाठी आयडियल ऑसिलेटर आहे, बर का!) पण ते सलग असतात. पप्पूने देवाकडे वर मागितला "देवा, हे घट तर बिघडले! मला वर दे की निदान हा ठीक असणारा घट मला हवं ते आउटपुट निर्माण करेल ! " देवाने वर दिला की असं अगदीच शक्य नाही, पण तुझा घट तुला हवे ते कॉनस्टंट आउटपुट निर्माण करू शकेल. आता यांचे करायचे काय ? पप्पू विचार करू लागला, दोन घटांचे आउटपुट जर घेतले आणि ती वायरींचे टोके एकत्र केली की आउटपुटांची बेरीज होते, हे मला माहितीय. शिवाय ते नवे आउटपुट ही सलग असते. 

सिग्नलची बेरीज

  पण समजा तीन सिग्नल एकत्र करायचे असतील तर? म्हणजे एक सिग्नल लाल वयारीतून, एक काळ्या आणि एक निळ्या वायारीतून येतोय, तर मी आधी लाल नि काळ्या वायरी  एकत्र जोडेन मग त्यांना निळी वायर जोडेन किंवा आधी काळी आणि निळी जोडून मग लाल जोडेन. पण मग (लाल+काळा )+निळा हे कॉम्बिनेशन नि लाल+(काळा +निळा) ही जोडणी, सारखी आहे ? यांचे आउटपुट सेम येते ? तुम्ही असे प्रयोग केले असतील नसतील पण उत्तर तुम्हाला ठाऊक आहे, वायरी कशाही जोडा आउटपुट बदलणार नाही ! पप्पू ने ते आपल्या ऑसिलेटरवर तपासून मगच विश्वास ठेवला. वर मिळालेल्या घटाचे  काय करायचे ? त्याला मी सल्ला दिला की तो एखाद्या अम्प्लिफ़ायर मध्ये सिग्नल म्हणून वापर. म्हणजे वर दिलेला सिग्नल वपरुन वरील कोणतेही सिग्नल अम्प्लिफ़ाय करायचे, असे.  

बारावीचे पी-एन डायोडचे साधे अम्प्लिफ़यर सर्किट लक्षात असेल तर आठवा की हे सर्किट एक सिग्नल घेते आणि ह्या सिग्नलच्या पटीत इनपुट वाढवून बाहेर पाठवते. म्हणजे जर सिग्नल स्थिर २ व्होल्ट दिला तर इनपुट ला ते दुप्पट करते, -३.५व्होल्ट दिला तर वजा साडेतीन पट  करते इ. म्हणजेच हे सर्किट सिग्नलने इनपुट ला "गुणते".  पप्पू ने केलेला एक प्रयोग म्हणजे जर दोन सिग्नल आधी एकत्र जोडले (= बेरीज केली) आणि मग त्यांना अम्प्लिफ़ाय केले किंवा आधी एकाच सिग्नलने अम्प्लिफ़य केले नि मग जोडले तरी उत्तर बदलत नाही. म्हणजे आधी लाल आणि काळी वायर जोडली, मग एक सिग्नल "क्ष" दिला आणि (लाल+काळा) ला क्ष(लाल+काळा) केले किंवा लाल ला आधी क्ष ने बदलले, काळ्याला क्ष ने बदलले आणि मग एकत्र जोडले = क्ष लाल + क्ष काळा तरीही उत्तर समानच येते क्ष(लाल+काळा) = क्ष लाल + क्ष काळा. म्हणजेच सिग्नलची बेरीज आणि ऍम्प्लिफ़िकशन एकमेकांसोबत गुण्यागोविंदाने वागतात. आता पप्पूची कथा सोडा. एक मिनिटासाठी चालणाऱ्या सर्व कंटीन्युअस सिग्नलचा संच पहा. वायरींची टोकं जोडून सिग्नलची बेरीज करणे हे बेरजेचे ऑपरेशन म्हणून घ्या. देवाने वर दिलेला घट वापरून बनवलेले  हे सिग्नल अम्प्लिफाय करणे हा या संचावर बाहेरून होणारा गुणाकार म्हणून घ्या. देवाने सांगितलेय की  कोणताही स्थिर= कॉनस्टंट सिग्नल बनवता येईल, म्हणजेच हा वास्तव संख्यांचा संच झाला ! प्रत्येक धन-ऋण-शून्य संख्येसाठी एकमेव सिग्नल आणि प्रत्येक सिग्नल साठी एक आणि एकच संख्या, असा संबंध. म्हणजेच अम्प्लिफ़िकेशन हा वास्तव संख्यांचा गुणाकार आहे. मागील लेखामध्ये जाऊन बेरीज = सिग्नल जोडणे आणि गुणाकार = अप्म्लिफ़िकेशन हे टाकून पहा आणि मग पहा की  एक मिनिट चालणाऱ्या ह्या सलग सिग्नलचा संच मुळात व्हेक्टर स्पेस आहे ! बरे मी एक मिनिट हा आकडा जादूचा म्हणून घेतला नाही. तिथे कोणताही आकडा ठेवला किंवा अनंत काळ चालणारे सिग्नल घेतले तरी ही व्हेक्टर स्पेस होते.  

  सारांश असा की सलग चालणाऱ्या इलेक्ट्रिक सिग्नलचा संच, वायरी जोडणे आणि अम्प्लिफ़िकेशन वापरून व्हेक्टर स्पेस बनते. आता हे गणिती  मॉडेल तयार झाले की सिग्नलचा अनालिसिस करणे सोपे होते. त्यावर गणित वापरून इतर थिअरोटिकल प्रयोग करता येतात. चैतन्यची अजून एक तक्रार होती, जी बरेच जण करतात, की अनंत मिती असणाऱ्या व्हेक्टर स्पेसेसचा अभ्यास का करायचा ? निसर्गात अशा "विचित्र" स्पेसेस असतात का ? त्याला दिलेले उत्तर असे की, निसर्गातील गणिती स्पेसेस शक्यतो अनंत मितीयच असतात ! सिग्नल स्पेस ही खूप नैसर्गिक स्पेस आहे. तिची मिती अनंत आहे ! हे सिध्द कसे करायचे? त्याचे उत्तर दडलेय फ़ुरियरच्या अनालिसिस मध्ये! फक्त सिग्नल स्पेस नाही तर सलग एक मिनिट आवाज करणारे यंत्र आणि तो आवाज अम्प्लिफाय करणारे यंत्र हे वापरून आवाजांची स्पेस सुद्धा व्हेक्टर स्पेस आहे हे दाखवता येइल. अगदी वर केले तसे. फक्त दोन आवाजांची बेरीज करायला वायर नको, तर ते एकत्र बडवले की झाले! त्यांच्या वहनाचे माध्यम हवा असल्याने तिथेच त्यांची बेरीज होईल! पण आवाजाचा अम्प्लिफ़यर मात्र गणपती मंडळांकडून प्रयोगासाठी उधारीवर आणावा लागेल! ;) आवाजांच्या व्हेक्टर स्पेसची मिती सुद्धा अनंत आहे! मागील लेख  'अबस्ट्रॅक्ट' गणिताचा एक विषय आहे. पण असाच अबस्ट्रॅक्ट विषय वापरून सुंदर निसर्गाचे नीटनेटके स्वरूप पाहण्याचा हा एक गणिती प्रयत्न ! (१७ मितींविषयी तत्वज्ञान झाडणार्यांच्या बुद्धीस अजून खुराक, तुमची आजूबाजूच्या आवाजांची मिती अनंत आहे!! )

   जाता जाता एक शेर द्यावयाचा आहे. अम्प्लिफ़ायर सर्किटचे गणिती महात्म्य हेच की तो इनपुटला अम्प्लीफायर सिग्नलने गुणतो. जर अम्प्लिफ़ायर सिग्नल स्थिर असेल तर ही प्रक्रिया म्हणजे वास्तव संख्येने गुणाकार होतो. अभ्यासूंसाठी एक प्रश्न, जर अम्प्लिफायर सिग्नल स्थिर नसेल, समजा साइन वेव्ह असेल तर काय होते ? :)

जाण्यापूर्वी आमच्या जातीबंधुंसाठी, म्हणजे गणिताच्या विद्यार्थ्यांसाठी:

वरील चर्चेत एक मिनिट म्हणजे [०,१] हा  क्लोज्ड इंटरव्हल आहे. सलग सिग्नल म्हणजे [०,१] वरून वास्तव संख्येत जाणारे सलग फलन = कंटिन्युअस फंक्शन आहे. अशा साऱ्या फलनांचा संच म्हणजे C([0,1], R) = {f:[0, 1] -> R : f is continuous} हा होय. सिग्नल f, g ची बेरीज म्हणजे (f+g)(x)=f(x)+g(x) आणि r वास्तव संख्या असेल तर (rf)(x)=rf(x)  हा गुणाकार होय. वरील चर्चेत मी इतकेच सांगितले की ह्या बेरजेत आणि गुणाकारात C([0,1], R) ही व्हेक्टर स्पेस होते.  आवाजांची स्पेस जरी घेतली तरी C([0,1], R) च मिळते. गणिताच्या दृष्टीने दोन्ही केसेस सारख्याच आहेत. फ़ुरिअर अनालिसिस सांगतो की {cos(n t), sin(m t): n, m are integers} हा संच C([0,1], R) चा (अनलिटिकल) बेसिस आहे. अल्जेब्राईक पाया हा अनलिटिकल पायाहून कायम मोठा असतो, त्यामुळे C([0,1], R) हे अनंत मितीय आहे. 

∆  ∆

वेळ काढून प्रद्युम्नने लेखाचे प्रूफ रीडिंग केले. धन्नो भावा! 
प्रश्नाबद्दल आभारी आहे चै! शिवाय भर सुट्टीच्या काळात "असल्या" ;) चर्चा मनमोकळेपणाने केल्याबद्दल चैतन्य आणि प्रद्युम्न दोघांस आभार!