Wednesday, February 20, 2013

जरा लॅाजिकली बोला की राव! भाग - ३


हा आहे पहिल्या लेखाचा अखेरचा भाग. माझी तक्रार मी का केली याचे कारण मी इथे देणार आहे. शिवाय फार महत्वाचा प्रश्न असा की हा लॉजिक नावाचा प्रकार कसा वापरायचा, त्याचा दैनंदिन जीवनात कसा संबंध येतो, यावर विवेचन आहे. 

या लेखातील गणिताचा तिखटपणा: ५ पैकी १/२ मिरची

आता हे तर्कशास्त्र प्रकरण गणितात आणि संशोधनात हे कुठं येतं?
थेट सांगायचं म्हटलं तर संचाचा सिद्धांत मांडताना गणित्यांच्या पिढ्यांनी दिलेली ही चिह्ने ही गणिताची लिपी आहे , संच सिद्धांत ही भाषा आहे आणि गणितीय तर्कशास्र हे या भाषेचे व्याकरण आहे! कोणताही गणिती सिद्धांत जगातील कोण्याच भाषेचा वापर न करता केवळ हे सारे वापरून लिहीता येतो! पण ही भाषा इतकी साधी आहे, की मग लिहीताना फारच त्रास होतो, म्हणून नित्याच्या साध्या भाषांची मदत घ्यायची! गणित करताना त्यामधील संकल्पना, युक्त्या, पद्धती या सार्या मिळून गणित होते. आणि अशी गोष्टींवर कमी त्रास घेऊन, सुटसुटीतपणे विचार करण्यास नि लिहीण्यास तर्कशास्त्राची मदत होते. नि तर्कशास्राचा एक खुपचा छोटा नि पायाभूत विभाग म्हणजे गणितीय तर्कशास्त्र . त्यामुळे गणित म्हणजेच तर्कशास्त्र किंवा तर्कशास्त्र म्हणजेच गणित असं म्हणणे नक्कीच चुकीचं आहे. किंबहुना आपल्या अज्ञानाचं प्रदर्शन करणारं ;-) तर हे झाले फा.शि. लोकांसाठी स्पष्टीकरण.
    मागे उल्लेख केल्याप्रमाणे डिजिटल लेक्ट्रॅनिक्सचा सैद्धांतिक पाया या शास्त्राने रचला आहे. वर सांगितल्याप्रमाणे हि चिह्ने आणि लॉजिक एकमेकांना जोडून गणिताची भाषा तयार होते. समजा, जर या प्रत्येक चिह्नासाठी एक लेक्ट्रॅनिक सर्किट बनवले आणि प्रत्येक मुलभुत नियमांसाठी एक सर्किट बनवले तर ती जोडून सारे गणित करता येईल. मग "गणन" म्हनजेच कम्प्युटिंग करण्यासाठी ही  यंत्रे जोडून एक मोठे यंत्र करता येईल. कोणतेही लॉजिकल इनपुट ही यंत्रे तपासू शकतील. अस साधा विचार करून पहिल्यांदा प्रत्येक बेसिक सर्किट्स बनवली आणि त्यांना नाव दिले "लॉजिक गेट्स"! तर, प्रत्येक डिजिटल लेक्ट्रॅनिक्सच्या पुस्तकाच्या आरंभी हा धडा का असतो याचे हे स्पष्टीकरण! आणि हिच ती संकल्पना जी आपल्या आजच्या संगणकाच्या जन्माचे कारण ठरली!


चार्ल्स ब्याबेज आणि त्याच्या संगणकावरील एक व्यंगचित्र
(Picture downloaded from Google. I do not claim the rights.)


रोजच्या जीवनात हे कुठं येतं?
लिखाण करताना, अर्ज करताना, जाहिरातींमध्ये हे मुलभूत तर्कशास्त्र तरी निदान वापरले जावे अशी एक आपेक्षा असते.  त्याच्या अभावी वाक्याचा अनर्थ होऊ शकतो. जसे की अर्ज किंवा एसओपी लिहीताना दिसणारे वाक्य म्हणजे 'मला तमुक एका विषयात रस होता आणि मी अमुक एक पदवी मिळवली म्हणून मी ह्या प्रोजेक्टचा विचार केला'. वरकरणी हे वाक्य ठिक आहे. पण या वाक्याच्या अर्थाकडे जरा खोलवर पाहूयात :

समजा,
…मला रस होता…  = क्ष
…मी पदवी मिळवली… = य
… प्रोजेक्टचा विचार केला= र
अशी विधाने घेतली तर 
तर वरचे वाक्य बनते,
(क्ष  य़) → र

पण नियमांप्रमाणे:
                                   (क्ष  य़) → र = (क्ष → र) ⋀ (य → र)           (विचार करा..!)

चिह्ने काढून परत वाक्ये टाकली तर हे विधान होते,
मला रस होता म्हणून मी प्रोजेक्टचा विचार केला आणि मला पदवी मिळाली म्हणून मी प्रोजेक्टचा विचार केला…इथे पहिले वाक्य ठिक आहे, पण अर्जामधे दुसरे वाक्य नक्कीच चांगले इंप्रेशन देत नाही!

अजून एक उदाहरण म्हणजे नवकविता. हे माझे स्वतःचे निरीक्षण नि मत आहे की पारंपारीक कावितांमधे लांबलचक वाक्ये असतात, परंतु ती वाक्ये योग्य त्या उभयान्वयी अव्ययांनी जोडली असल्या कारणाने कवितांचा अर्थ स्पष्ट असतो. नवकवितांमधे वाक्यांची लांबी कमी होते आणि ही उभयान्वयी अव्यये जवळ जवळ वापरलीच जात नाहीत. त्यामुळे दोन वाक्यांचा नेमका संबंधच कवी सांगत नाही. त्यामुळे वाचकाच्या मानातील उभयान्वयी अव्यये ती जागा भरून काढून नवनवा अर्थ देत राहतात!

अस्तु, एक नित्याचा अनुभव म्हणजे वाक्याची किंमत बदलणे. याचे पुढील उदाहरण माझ्या आवडीचे आहे. पण त्याचे स्पष्टीकरण (कदाचित) "डोक्याला शॉट" आहे असे तुम्हाला वाटेल. वेळ झाला तर नक्की वाचा.
माझा आणि एक ब्यांक कर्मचार्यांचा संवाद. काऊंटरवर पैसे घेताना.

ब्यां.क.- अच्छा तुम्ही होळकरांचे चिरंजीव. हे घ्या पैसे. तुमचं पासबुक भरलं नै ना?
मी- हो.
ब्यां.क. (गोंधळून)- हो? अहो, पण तुमचे वडील म्हणाले की नाही भरलं?
(आता) मी- (गोंधळून) हो, नाही भरलंय?
ब्यां.क.- तुम्ही काय करता?
मी- एम्.एस्सी., गणितात.
ब्यां.क.- अहो, इतकं गणित शिकताय, जरा लॅजिकली बोला की राव! पासबुक भरलं नाहीतर हो काय म्हणताय!
मी गुपचूप निघुन आलो.

   आता तुम्ही म्हणाल की यात  लॉजिकचा संबंध काय? तर ते स्पष्टीकरण असे: ब्यांक कर्मचार्यांने विचारलं की पासबुक भरलं नाही ना? हे वाक्य अजून सोपे करून असे म्हणता येईल की- तुमचं पासबुक भरलं नाही. होय ना? ईंग्रजीमधे "isn't it?" अशी जी रचना असते तशी ही रचना आहे. त्यामुळे उत्तर
असेल की "होय, पासबुक भरले नाही" , होय ना? ;-)  (पुन्हा तीच रचना! त्यामुळे याचेही उत्तर होकारार्थीच येईल).  मी नाही म्हटलो तर तो नकार झाला असता. त्याचे उत्तर "नाही, पासबुक भरले आहे" असा अर्थ झाला असता.
     आता इथे आपले वरील तर्कशास्र कसे लागू होते? तर अशा रचनेमधे मुळ वाक्याचीच  लॉजिकल किंमत  उत्तर म्हणून आपेक्षित असते. मुळ वाक्यातच नकार आहे. तो असा: पासबुक भरलं नाही = -(पासबुक भरलं आहे).  उत्तर नकारार्थी दिले असते तर 'नियम ३'  प्रमाणे नकाराचा नकार तो होकार झाला. म्हणजेच -(-(पासबुक भरलं आहे)) = पासबुक भरलं आहे! आता, या सगळ्यामुळे मी होकारार्थी उत्तर दिले. पण झालं उलट! अशाच मजेदार जाहीरातीतही असतात, ज्यांच्यामधे असाच तर्कशास्त्राचा खून केलेला असतो आणि नेमका काहीतरी तिसराच संदेश दिलेला असतो. डोळे आणि मेंदू उघडा असेल तर ती तर्कशास्त्रीय मजा नक्कीच लुटता येईल!

आता, शेवट करतो लेखाचा. शेवटी एकच खडा टाकतो, सुरुवातीला मी जी फा.शि. लोकांबद्दल तक्रार केलीये, ती  अ- लॉजिकल आहे, म्हणजेच त्यात काही तर्क नाही असं म्हटलंय. सांगू शकाल का ते?
∆ ∆

जरा लॅाजिकली बोला की राव! भाग - २

राम राम मंडळी, मागचे लिखाण पचले असेल तर सुरुवात करूयात! यावेळी लॉजिकची दोन महत्वाची (आणि अखेरची) चिन्हे पहायाचीयेत. ती चिन्हे आहेत, <-> आणि  V.  


या लेखातील गणिताचा तिखटपणा : ५ पैकी २ मिरच्या

तर , <-> आणि  V या चिह्नानांबद्दल काही गेस?
पहिले चिह्न म्हणजेच  < - >  पाहू. खालील चित्र पाहिले तर ते नेमके कळेल. 


हा बाण असा तोडता येईल  : <-- आणि --> असे. पण मग याचा अर्थ काय?  जरा लॉजिकली विचार करूयात. समजा अ आणि ब अशी दोन विचाने आहेत तर अ < - > ब म्हणजे काय तर, एकदा अ <-  ब आणि एकदा अ  -> ब.  म्हणजे एकदा "ब" चे कारण "अ " आहे आणि एकदा "अ " चे कारण "ब " आहे असं. थोडक्यात काय तर दोन्हीही विधाने एकमेकांची करणे आहेत!
        वाह..! नेमका हाच अर्थ आहे या चिह्नाचा! याचे उदाहरण द्यायचे झाले तर मागच्या लेखातील गाण्य-गाणी ग्रुप अथवा. समज गाण्या आणि गाणीची भांडणे झालीत आणि दोघांनीही  एकमेकांशी कट्टर वैर जाहीर केलेय! मग, जेव्हा जेव्हा गणी दिसणार तेव्हातेव्हा गण्या जाणार आणि अचानक गण्या गेला रे गेला कि समजायचे कुठेतरी गणी  आहेत! थोडा बाद करून मग हे विधान असे करता येईल की,

५. गणी आली म्हणजेच गण्या जातो.


थोडक्यात दोन्ही वाक्यांचा अर्थ एकच आहे.  पण असे असेल तर वाक्यांची जागा बदलली तरी चालेल. हेच वाक्य आपण असेही लिहू शकतो की,

६. गण्या अचानक जातो म्हणजेच गणी आली.

आणि ५ नि ६ चा अर्थ एकाच आहे. मागील लेखातील संज्ञा वापरायची तर दोघांची किंमत एकाच आहे. जर विधान अ = गणी  आली घेतले आणि विधान २ = गण्या अचानक जातो असे घेतले तर चिह्न वापरून हि विधाने अशी लिहिली जातील:
५.  वि. अ <-> वि. ब
६.  वि. ब <-> वि. अ

क्या वात हैं, ही चिह्ने पाहताच कळते की दोन्हींचा विधानांचा अर्थ एकच आहे! ही आहे चिह्नांनाची कमाल! क्या वात हैं, उ. नि ऊ. पाहताच कळते की दोन्हींचा अर्थ एकच आहे.
यावरून येणारा नवा नियम असा की



नियम ३. (अ  <-> ब ) ची किंमत = (ब <-> ) ची किंमत
अजून एक असे कि अ <->  ब चा अर्थ आपण असा घेतला होता कि "एकदा अ <-  ब आणि एकदा अ - >  ब ". हा अर्थ "आणि" साठीचे चिह्न (^) वापरून लिहिला तर होईल    "(अ <-  ब) ^ (अ - >  ब)".
हि दोन्ही वाक्ये सारखीच आहेत त्यामुळे

नियम ४. (अ <-> ब) ची किंमत = [(अ -> ब) ^ (ब -> अ )] ची किंमत 

बरेच नियम झाले आपल्याकडे. पुढे तर्कशास्त्राच्या मुलभूत गृहीतकांची यादी दिलेली आहे:

गृहितकांची यादी.
यापैकी दोन चिह्नांची चर्चा पुढे केली आहे


हीच लेक्ट्रॅनिक्स नि संगणकीय अभ्यासातील सुत्रे नि त्यांचा उगम. आहे खरा सोपा!
अशीच साधी उदाहरणे वापरून इतर नियम शोधता येतील.

    अजून एक महत्वाचे अव्यय आहे "किंवा". याच्या वापराचा एक नियम आहे. त्यासाठी एक चवदार उदाहरण पाहू:
मला जर आईने दमून आल्यावर पोळी भाजी हवी की खीर पोळी हवी असे विचारले. घरात दोन्ही आहेत. नि मी "पोळी-भाजी किंवा खीर-पोळी काहीही घेईन" असं म्हटल्यावर जो अर्थ होतो, त्याच अर्थाने तार्कीक  "किंवा" वापरला जातो. म्हणजे, मी दोन्हींपैकी एक काहीतरी घेईनच, पण, मला मनात आले तर दोन्हीही घेईन. असाच तार्कशास्त्रसातील किंवा चा अर्थ आहे (हा नियम आहे, सो नो क्वेश्चन!). पण मग "मी येईन किंवा येणार नाही" याचा तार्कीक अर्थ प्रॅक्टीकली निरर्थक होतो. मी येईन, अथवा नाही येणार अथवा दोन्हीही! रोजच्या आयुष्यात "दोन्हीही" ला अर्थ नाही. पण शास्त्रात सगळे चालते! अस्तु, किंवासाठीचे चिह्न  आहे V (उलटा ^). 

    आता आपल्याकडे गणितीय तर्कशास्त्राच्या अभ्यासाठी पुरेशी सामग्री जमली आहे.
सुरुवातीस म्हटले तसे, आपले ध्येय आहे ते वाक्यसमुहाचा अर्थ समजून घेणे. आणि आत्तापर्यात डेव्हलप केलेल्या पद्धतीवापरून त्याचे सोपे नियम शोधणे.  एक प्रश्न असा की "आणि"असणार्या विधानाचे नकारार्थी विधान कसे करायचे. 
समजा मी मित्राला वचन दिलेय की मी तुला उद्या सीडी आणि बॅट देतो. तर हे वचन कधी मोडले जाईन? या विधानाचे नकारार्थी विधान कसे होईल? मी दोन्ही गोष्टी देण्याचे कबूल केले आहे. त्यामुळे एक जरी बाब दिली नाही तरी वचन मोडले 
नि वाक्याची किंमत बदलली- म्हणजेच मी (सीडी दिली नाही आणि बॅट दिली) किंवा (सीडी दिली आणि बॅट दिली नाही) किंवा दोन्ही दिले नाही.

आपल्या पद्धतीप्रमाणे समजा

क्ष: मी तुला सीडी देईन
य: मी तुला बॅट दिईन

     माझे वचन = क्ष   य
त्याचा नकारार्थ =  सीडी दिली नाही किंवा बॅट दिली नाही = (सीडी दिली नाही) ⋀ (बॅट दिली नाही)
                                                                 = [(-क्ष)  (य)] [(क्ष)  (-य)] [(-क्ष) ^ (-य)]

पण आपल्या "किंवा"च्या नियमाप्रमाणे शेवटचा [(-क्ष)  (-य)] भाग लिहीला नाही तरी चालेल. 

म्हणूनच 


वचनाचा नकारार्थ = [(-क्ष)  (य)] [(क्ष)  (-य)]
आणि हा आहे नावा नियम:
नियम ४.  -(क्ष  य़) [(-क्ष)  (य)] [(क्ष)  (-य)]



बुल (George Boole) नामक एका गणित्याने असे काही नकारार्थाचे नियम शोधून काढले. त्याला लक्षात आले की विधानांची किंमत बदलताना "" व "⋁" यांची मजेशीर आणि सिमेट्रिक अदलाबदल होते. बुलने कंस सोडवण्याचे नियमही अभ्यासले. त्याने या "" व "⋁"  चा अभ्यास करून दाखवले की गणितातील बर्याच विषयांमध्ये अशी अदलाबदल होते. मुल नियमाचे स्वरूप बदलत नाही. बुल्चे हे नियम सेट थिअरी म्हणजेच संच सिद्धांतामध्ये हि दिसतात, आकडेमोड करतानाही काहीवेळेस दिसतात. यांचा वापर करून डिजिटल लेक्ट्रॅनिक्स मधील पायाभूत सर्किट्स बनवली गेली आणि आजच्या डिजिटल यंत्रांचा जन्म झाला. आरशातील प्रतिबिंबाप्रमाणे ही दोन्ही चिह्ने गणितीय तर्कशास्त्रात वागतात असे बुलच्या या नियमांमधे दिसते.
∆ ∆


"म्हणजेच" हा शब्द मी वापरलाय. पुस्तकांत "तर आणि तरच" अशी रचना असते. "तर आणि तरच" ही माझ्या माहितीप्रमाणे पारंपारीक वाक्यरचना नाही. ईंग्रजीतील "if and only if" चा तो मराठी अवतार आहे. त्याचा अर्थ असा की पहीले "तर" म्हणजे - गणी आली म्हणून गण्या गेला; नि  "आणि तरच" म्हणजे - गण्या गेला म्हणून गणी आली. पण मला काही ही रचना फारशी पटत नाही. मराठीचे ईंग्रजीकरण वाटते. तरी जाणकरांनी जरूर कळवावे नि चूक दुरुस्त करावी.